7.1. Прогнозирование движения ИСЗ методами численного интегрирования
Движение ИСЗ можно описать в различных системах координат. От выбора конкретной системы координат, используемой для математического описания движения ИСЗ, зависит как сложность алгоритма вычисления правых частей дифференциальных уравнений движения, так и удобство расчетных формул для определения параметров орбит. В итоге выбор системы координат определяет быстродействие используемого метода точного расчета элементов орбиты ИСЗ.
Для ИСЗ, движение которого можно рассматривать без учета влияния Луны и Солнца, наибольшее применение имеет относительная гринвичская система прямоугольных координат. К основным преимуществам этой системы относят несложный алгоритм вычисления правых частей дифференциальных уравнений и простоту формул для расчета различных параметров орбиты. Однако для обеспечения требуемой точности расчета необходимо выбирать небольшой шаг интегрирования (для численного интегрирования дифференциальных уравнений), что ограничивает возможность значительного повышения оперативности получения конечных результатов.
Увеличение шага численного интегрирования возможно при использовании другой системы координат, в частности когда используется система уравнений в оскулирующих элементах. Однако из-за большой сложности вычисления правых частей суммарного выигрыша в быстродействии не происходит. Заметный выигрыш в быстродействии обеспечивается при использовании системы цилиндрических координат для широкого класса орбит ИСЗ с малым эксцентриситетом (е < 0,1).
Для высоких орбит ИСЗ (с высотой более 3000 км) основной особенностью методов расчета является необходимость учета возмущающего действия Луны и Солнца. В связи с этим для расчета элементов орбит наиболее целесообразно использовать систему уравнений в инерциальной геоцентрической системе координат.
Практический смысл проводимого анализа использования различных систем координат и методов численного интегрирования можно продемонстрировать данными численных расчетов.
Элементы орбиты, полученные интегрированием в цилиндрической системе координат, сравнивают с элементами, полученными также численным интегрированием в прямоугольных координатах. Для орбит с параметрами Т = 89,958...102,124 мин, е = 0,008...0,091, Я = 230...1530 км увеличение быстродействия при использовании цилиндрической системы координат достигает величины 1,8 при одновременном повышении точности расчетов. Вместе с тем при интегрировании на большие интервалы времени (например, при длительном полете КА) преимущества использования цилиндрической системы координат не являются такими заметными.
Существует большое количество различных методов численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, к которым относят и уравнения движения КА.
Численные методы интегрирования дифференциальных уравнений разделяют на две группы. Методы первой группы основаны на разложении функции, определяющей характер движения, в ряд с последующей записью аналитического выражения для переменной на следующем шаге вычислений (при этом в выражении сохраняют производные высших порядков). Эти производные определяют или аналитически, или численным дифференцированием исходного уравнения. К данной группе относят методы Адамса, Коуэлла, Штермера. Методы второй группы также основаны на разложении в ряды. Но конструкция выражения для переменной на следующем шаге вычислений является принципиально иной — производные высших порядков отсутствуют. Зато меняется схема вычислений — четырежды на каждом шаге интегрирования определяют первые производные, т. е. осуществляют последовательное улучшение искомой переменной (метод Рунге—Кутта и его различные модификации).
Значительное развитие получили также специализированные методы численного интегрирования — для систем дифференциальных уравнений специального вида, для больших интервалов прогнозирования и т. д. К таким методам можно отнести метод Энке, методы Стеффенсона, Милна, Адамса— Башфорта и др.
Точность и быстродействие методов расчета орбит спутников методами численного интегрирования в значительной степени зависят от характеристик орбит и, в первую очередь, от значения эксцентриситета е. При е < 0,2 целесообразно применять метод интегрирования Адамса с постоянным шагом интегрирования. Достаточно высокая точность вычислений в этом случае обеспечивается даже для прогноза движения ИСЗ на 15...20сут вперед (при шаге интегрирования 90...120 с и при использовании мощных ЭВМ с высокой разрядностью представления чисел в двоичном коде).
Для орбит с эксцентриситетом е > 0,2 целесообразным считают применение метода интегрирования Адамса с автоматическим выбором шага. Использование этого метода позволяет при эквивалентной точности оценок обеспечить значительное повышение быстродействия расчета элементов орбиты (по сравнению с использованием того же метода, но при постоянном шаге интегрирования).
При решении таких задач, как определение времени существования ИСЗ, определение эволюции орбиты спутника за время его существования и других важных для практики задач, возникает необходимость расчета элементов орбиты для больших интервалов времени полета (порядка сотен и тысяч оборотов спутника вокруг Земли).
Во всех таких случаях при использовании указанных методов численного интегрирования требуются значительные затраты времени для расчета на ЭВМ параметров орбиты. Это объясняется тем, что из-за колебательного характера изменения, например, оскулирующих элементов орбиты в пределах одного периода, нельзя при численном интегрировании применять большой шаг. Если же рассматривать некоторые элементы орбиты в начале витка как функции номера витка, то их изменения носят монотонный характер. Это обстоятельство лежит в основе специального метода численного решения уравнений в конечных разностях для расчета орбит ИСЗ на больших интервалах времени полета.
Для типичных орбит спутников величину шага в начале полета выбирают достаточно большой, но по мере увеличения длительности полета (когда высота полета уменьшается и элементы орбиты начинают заметно изменяться) требуемый шаг уменьшается.
|
